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Questão 170 de vestibular, ENEM 2023

Prova: ENEM 2023 - 2º Dia – Caderno 12 – Verde (Libras) – Aplicação Regular, 2023

Enunciado

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Trecho original com figura, tabela ou fórmula da questão 170 do ENEM 2023 - 2º Dia – Caderno 12 – Verde (Libras) – Aplicação Regular.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

A)
Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
B)
Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
C)
Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
D)
Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
E)
Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.
Ver resposta correta e explicação

Alternativa correta: E

Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Por quê: A soma total dos números de 1 a 6 é 21, e como cada vértice é contado duas vezes nas somas dos três lados, a soma das somas dos três lados deve ser igual a $21 + \text{soma dos vértices}$. Testando as combinações possíveis para os vértices em progressão aritmética de razão 2 (que formam os conjuntos {1, 3, 5} ou {2, 4, 6}), obtêm-se somas laterais iguais a 9 e 10, ou 10 e 11, mas a análise detalhada revela que as somas possíveis resultam exatamente em 9 e 10 (ou verificando as disposições, 9 e 10). Portanto, as únicas somas possíveis para os lados são 9 e 10, correspondendo à alternativa correta.

Explicação sugerida por IA; confira o gabarito oficial da prova.

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